Πίτα με φρέσκα φασολάκια

Σε μια κατσαρόλα με βαρύ πάτο βάζετε τις δύο κουταλιές βούτυρο και το αφήνετε να ζεσταθεί καλά. Ρίχνετε τα κρεμμύδια και τα «γυρίζετε» μια δύο φορές να ροδίσουν χωρίς να σας καούν, προσθέτετε το σκόρδο, το μαϊντανό και τα φασολάκια. Αλατοπιπερώνετε και ρίχνετε ένα φλιτζάνι νερό. Σκεπάζετε και ψήνετε σε πολύ χαμηλή φωτιά για 30 λεπτά. Σε ένα μικρό τετράγωνο ταψί, το οποίο έχετε πριν βουτυρώσει στρώνετε 3 φύλλα, επίσης βουτυρωμένα μεταξύ τους. Ρίχνετε μια ποσότητα από τη γέμιση (φασολάκια), την οποία έχετε σουρώσει εντελώς από τα υγρά της (τη σάλτσα) και την έχετε αφήσει να κρυώσει. Την φτιάχνετε έτσι, ώστε να απλωθεί παντού επάνω στο φύλλο. Πασπαλίζετε με μερικά φρέσκα κρεμμυδάκια και λίγη φρυγανιά. Στρώνετε από πάνω άλλα δύο φύλλα, επίσης βουτυρωμένα μεταξύ τους και συνεχίζετε με την υπόλοιπη γέμιση. Τελειώνετε με 4-5 φύλλα βουτυρωμένα. Χαράζετε τα φύλλα, περνάτε την επιφάνεια με άφθονο βούτυρο. Σε ένα μπολ χτυπάτε τη μια κουταλιά ελαιόλαδο, με το γάλα, τη σόδα και το αβγό, περιχύνετε με αυτό την πίτα και ψήνετε στους 180 °C για 25-30 λεπτά και μέχρι να ροδίσει η επιφάνειά της. Σερβίρετε την πίτα ζεστή ή χλιαρή.