Πίτα με κοτόπουλο και ρύζι, στολισμένη με κόθρο

Σε μια φαρδιά κατσαρόλα ζεσταίνουμε το λάδι και σοτάρουμε το κοτόπουλο για περίπου 3-4 λεπτά μέχρι να ροδίσει από όλες τις πλευρές. Ρίχνουμε τα κρεμμύδια και συνεχίζουμε το σοτάρισμα για περίπου 2-3 λεπτά μέχρι να χρυσίσουν. Προσθέτουμε 1½ λίτρο νερό, αλάτι και πιπέρι και βράζουμε σε χαμηλή φωτιά για περίπου 30 λεπτά. Αποσύρουμε, βγάζουμε το κοτόπουλο και αφαιρούμε την πέτσα και τα κόκαλα. Προθερμαίνουμε το φούρνο στους 200° C. Απλώνουμε τα φύλλα έτσι που να περισσεύουν έξω από το ταψί. Με τρυπητή κουτάλα παίρνουμε τα κομμάτια του κοτόπουλου από την κατσαρόλα και τα βάζουμε στο φύλλο, κυκλικά στην περιφέρεια του ταψιού, κοντά στα τοιχώματα. Παίρνουμε με την τρυπητή κουτάλα τα κρεμμύδια από την κατσαρόλα και σε ένα μπολ τα ανακατεύουμε με το ρύζι, απλώνουμε στο κέντρο του ταψιού και αλατοπιπερώνουμε. Μετράμε το ζουμί από την κατσαρόλα, χρειαζόμαστε 1 λίτρο. Αν είναι λιγότερο, θα πρέπει να συμπληρώσουμε με ζεστό νερό. Γυρίζουμε με προσοχή τα φύλλα προς τα μέσα, ώστε να σκεπάσουν το κοτόπουλο, αλλά να αφήσουν το ρύζι στο κέντρο ξεσκέπαστο. Αλείφουμε με βούτυρο τα φύλλα, ρίχνουμε στο κέντρο της πίτας το μετρημένο ζουμί και βάζουμε το ταψί στο φούρνο. Ψήνουμε για περίπου 30-40 λεπτά, μέχρι το ρύζι να αρχίσει να φουσκώνει. Βγάζουμε το ταψί από το φούρνο, ρίχνουμε τα αβγά και συνεχίζουμε το ψήσιμο για περίπου 10 λεπτά, μέχρι να ροδίσει το φύλλο και να μαλακώσει το ρύζι. Βγάζουμε την πίτα από το φούρνο, την αφήνουμε να κρυώσει λίγο και την κόβουμε σε τρίγωνα κομμάτια, ακτινωτά, ώστε κάθε ένα να περιέχει και κοτόπουλο και ρύζι.